Classe 6-3-2009

El teorema de Pitàgores

Notes històriques

Es diu teorema de Pitàgores perquè es creu que va ser ell qui el va demostrar per primera vegada. Però el seu origen és desconegut, ja que ha estat present des de els inicis de la història:

A la Xina, a la Índia i a Egipte s'utilitzaven ternes pitagòriques per construir angles rectes. Ho feien utilitzant cordes amb nusos a igual distància.

I els Babilonis també coneixien el teorema. La tableta Plimpton 322 conté sèries numèriques que ho constaten.

Si voleu més informació, podeu consultar un text extens a matematicas.net. I informació sobre la tableta Plimpton 322.

El teorema de Pitàgores.

En un triangle rectangle, cada un dels costats que formen l'angle recte s'anomena catet i el costat que està davant de l'angle recte, hipotenusa.

El que va demostrar Pitàgores és que l'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa és igual a la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els catets.

Casos d'utilització del teorema:

Donats els dos catets, trobar la hipotenusa:

a = 9, b = 12, c = ?
Donat un catet i la hipotenusa, trobar l'altre catet:
a = 5, c = 13, b = ?

Classe 30-1-2009

Mapes i plànols
Heu de tenir ben clar que un mapa o un plànol és un dibuix semblant (en el sentit matemàtic del terme) a la realitat.
Es diu escala a la relació que hi ha entre la realitat i el dibuix. És a dir, a la raó de semblança. Així una escala 1:200 vol dir que el dibuix és 200 vegades més petit que la realitat. També és important la idea de escala gràfica.
Per solucionar els problemes de mapes i plànols hem d'emprar proporcionalitat (per exemple, regles de tres).
I a l'hora de calcular àrees, hem de tenir present que la raó entre les àrees és el quadrat de l'escala.
Per veure el tema de mapes podeu visitar google maps o baixar-vos google earth.



La geometria, universal?
Vam llegir i reflexionar sobre un article de El País.

Els dos pròxims dies farem repàs i exercicis de tot el que hi entra a l'examen de dia 20 de febrer.

Classe 23-1-2009

Relació entre les àrees de figures semblants i la raó de semblança
Heu de tenir molt clar que la raó de les àrees de figures semblants és el quadrat de la raó de semblança. O equivalentment, que la raó de semblança és l'arrel quadrada de la raó de les àrees.
Per veure i aprofundir amb tot això va fer els exercicis 52, 53, 54, 55 i 56

Ampliacions de figures.
Mètode 1. Ampliant les quadrícules (exercici 59)
Mètode 2. Utilitzant una homotècia (que ja hem fet prou exercicis)

El pròxim dia acabarem el tema veient mapes i plànols. Això vol dir que l'examen serà o dia 13 o bé 20 dia de febrer.

Classe 16-1-2009

Semblança de triangles.
Els polígons més senzill són els triangles. És per això que són els més importants. En principi dos triangles són semblants si tenen els angles homòlegs iguals i els costats homòlegs proporcionals. Això vol dir que per comprovar si ho són ens hauríem d'assegurar que tots els costats corresponents són proporcionals i que tots els angles corresponents són iguals.

Criteris de semblança.
No és necessari fer totes les comprovacions anteriors. És suficient en comprovar menys coses.
Per saber si dos triangles són semblants hem d'utilitzar un d'aquests criteris:
- Criteri 1. Un angle igual i els costats que el formen proporcionals.
- Criteri 2. Dos angles iguals.
- Criteri 3. Els tres costats proporcionals.

I si els triangles són rectangles (i per tant ja sabem que tenen un angle igual), els criteris queden:
- Criteri 1. Catets proporcionals
- Criteri 2. Un angle agut igual.
- Criteri 3. Els tres costats proporcionals.

Raó dels perímetres i de les àrees de figures semblants.
Vam dibuixar amb regla i compàs dos triangle semblants de raó de semblança 3, un de costats 12, 9 i 6 i l'altre 4,3 i 2
La raó dels perímetres és 27/9=3; al dibuixar les altures de cada un vam veure que la del primer era 4'5 i la del segon 1'5. Així, l'àrea del primer és A= 12·4'5/2= 27 i la del segon A'= 4·1'5/2 = 3.
La raó de les àrees és per tant 27/3 = 9, que és el quadrat de la raó de semblança. Per què?

Classe 9-1-2009

Hem repassat els exercicis b28 i b29 d'homotècies.
Semblances: hem fet els exercicis b39, b40, b41b i c,b42 i b43

Deures per entregar: apartats c (amb regla i compas) i d de l'exercici B28 (pg 39)
Deures: exercici B30 complet.

I com la setmana anterior, visitau la web del projecte Descartes que explica l'homotècia

Classe 19-12-2008

Definició formal d'homotècia:
Aplicació que a cada punt del pla A li fa correspondre A' tal que

• O,A,A' són alineats
• OA'=kOA

on O és el centre de l'homotècia i k la raó.


Algunes propietats de les homotècies:
La transformada d'una recta que passa per O és ella mateixa
La transformada d'una recta que no passa per O és una recta paral·lela que està a k.

Les homotècies conserven els angles.

Visitau la web del projecte Descartes que explica l'homotècia

Hem començat amb la idea de semblança (fins l'exercici B38).

Deures per entregar: apartats c i d de l'exercici B28 (pg 39)
Deures: apartat d i e de l'exercici B29, exercici B30 complet.

Classe 12-12-2008

Continuant amb el teorema de Tales, hem vist com trobar, amb regla i compàs, la tercera proporcional. (En l'exemple podeu veure com construir la tercera proporcional a 3 i 2)
Un cas important del teorema és el que s'anomena triangles en posició de Tales.
Generalitzant aquesta situació hem començat a veure el concepte d'homotècia. Hem vist unes imatges homotètiques (la càmera de fotos analògica, per exemple). A l'exemple podeu veure com s'ha aplicat una homotècia de centre O i raó 0'5 (exactament -0'5, però això encara no ho hem vist) a un hexàgon.


I si voleu imatges curioses, vos deix un link a una interesant pàgina de n'Escher. Recordau, també, jugar una estona amb el tetris.