P(A U B) = P (A) + P(B) - P(AnB).
A A (vermell i verd) i a B (blau i verd) hi comptam els elements comuns; és a dir, que A conté AnB (verd) i B també conté AnB. Per tant AnB ho hem comptat dues vegades, d'aquí que la restem una.
Successos contraris o complementaris.
És la negació de l'esdeveniment.
El contrari de A="treure un 5" és A'="no treure un 5".
Això, en aquest cas tant obvi, pot semblar inútil, però hi ha ocasions en que simplifica molt els càlculs si s'utilitza la fórmula P(A') = 1 -P(A). És important recordar que junts ens donen l'espai mostral (AUA'=E) i que no tenen elements en comú, són incompatibles (AnA'= buit).
En el dibuix A és la part vermella i "la resta del món" és A', en blau.
Un problema d'exemple: El 76% del espanyols està preocupat per l'atur i 81% creu que la conjuntura econòmica és dolenta. Sabent que un 72% opina que la conjuntura econòmica és dolenta i està preocupat per l'atur, contestau:
a) Quants ciutadans estan preocupats per les dues qüestions?
b) Quants estan preocupats per l'atur però no per la conjuntura econòmica?
c) A quin percentatge li preocupa només l'atur?
d) Quin és el percentatge de persones que no estan preocupades per cap de les dues coses?
Les dades són semi inventades.
Resposta:
Primer aclarim les dades en notació probabilística. Així, a la llarga, són més fàcil de resoldre els problemes.
A="persones preocupades per l'atur", C="persones preocupades per la conjuntura"
P(A)= 0'76 P(C)=0'81 P(AnC)=0'72 (persones preocupades per les dues coses)
a) Se demana el conjunt de persones preocupades per alguna de les dues coses, és a dir per AuC. Aplicant la fórmula:
P(AuC)= 0'76 + 0'81 - 0'72 = 0'85. Així, un 85% de persones està preocupada per alguna de les dues variables
b) Aquestes són les persones que estan preocupades per l'atur restant les que estan preocupades per les dues coses:
P(AnC')=0'76 - 0'72= 0'04. Per tant un 4% dels enquestats està preocupat només per l'atur
c) És el cas anàleg a l'anterior però canviant A per C
P(A'nC)= 0'81-0'72=0'09. Un 9% de la població està preocupada només per la conjuntura econòmica.
d) Aquí es demana el contrari de AuB, és a dir, no està preocupat per cap de les dues coses
P((AuC)')=1-'085=0'15. Un 15% no està preocupat per cap de les dues qüestions.
