Classe 29-5-2009

Probabilitat condicionada. És aquella en què reduïm l'espai mostral perquè sabem informació extra. La notació que s'ha d'utilitzar és P(A|B)
Treim una carta d'una baralla, si sabem que és una figura, quina és la probabilitat que sigui el rei d'oros? P(rei oros | figura) = 1/12. Sense la informació extra, la pregunta seria: quina és la probabilitat d'obtenir el rei d'oros P(rei oros) = 1/48.

Successos independents són aquells en que el fet que passi un no té cap influència en l'altre.
Per exemple, quan tiram dos daus, el resultat del primer no té cap influència en el resultat del segon (i al revés, també).

Esdeveniments dependents són aquells en que el resultat d'un canvia la probabilitat de que ocorri l'altre.
Treim dues cartes d'una baralla sense reposició, és a dir, no tornam la primera al munt. Llavors, el resultat de la primera té importància per la segona.

Aquí teniu les solucions als exercicis del quadern.
I aquí les solucions dels exercicis per practicar.

Classe 22-5-2009

Fórmula de la unió d'esdeveniments.
P(A U B) = P (A) + P(B) - P(AnB).
A A (vermell i verd) i a B (blau i verd) hi comptam els elements comuns; és a dir, que A conté AnB (verd) i B també conté AnB. Per tant AnB ho hem comptat dues vegades, d'aquí que la restem una.

Successos contraris o complementaris.
És la negació de l'esdeveniment.
El contrari de A="treure un 5" és A'="no treure un 5".
Això, en aquest cas tant obvi, pot semblar inútil, però hi ha ocasions en que simplifica molt els càlculs si s'utilitza la fórmula P(A') = 1 -P(A). És important recordar que junts ens donen l'espai mostral (AUA'=E) i que no tenen elements en comú, són incompatibles (AnA'= buit).
En el dibuix A és la part vermella i "la resta del món" és A', en blau.
Un problema d'exemple:
El 76% del espanyols està preocupat per l'atur i 81% creu que la conjuntura econòmica és dolenta. Sabent que un 72% opina que la conjuntura econòmica és dolenta i està preocupat per l'atur, contestau:
a) Quants ciutadans estan preocupats per les dues qüestions?
b) Quants estan preocupats per l'atur però no per la conjuntura econòmica?
c) A quin percentatge li preocupa només l'atur?
d) Quin és el percentatge de persones que no estan preocupades per cap de les dues coses?
Les dades són semi inventades.

Resposta:
Primer aclarim les dades en notació probabilística. Així, a la llarga, són més fàcil de resoldre els problemes.
A="persones preocupades per l'atur", C="persones preocupades per la conjuntura"
P(A)= 0'76 P(C)=0'81 P(AnC)=0'72 (persones preocupades per les dues coses)
a) Se demana el conjunt de persones preocupades per alguna de les dues coses, és a dir per AuC. Aplicant la fórmula:
P(AuC)= 0'76 + 0'81 - 0'72 = 0'85. Així, un 85% de persones està preocupada per alguna de les dues variables

b) Aquestes són les persones que estan preocupades per l'atur restant les que estan preocupades per les dues coses:
P(AnC')=0'76 - 0'72= 0'04. Per tant un 4% dels enquestats està preocupat només per l'atur

c) És el cas anàleg a l'anterior però canviant A per C
P(A'nC)= 0'81-0'72=0'09. Un 9% de la població està preocupada només per la conjuntura econòmica.

d) Aquí es demana el contrari de AuB, és a dir, no està preocupat per cap de les dues coses
P((AuC)')=1-'085=0'15. Un 15% no està preocupat per cap de les dues qüestions.

Classe 15-5-2009

Probabilitat. Esdeveniments compostos

Taules i diagrames en arbre
Per organitzar la informació quan tiram dos daus podem utilitzar una taula, o bé un diagrama en arbre. En aquest moment, en la introducció de la probabilitat, és clarament més senzill la taula, però heu de tenir en compte que a la llarga és més potent el diagrama en arbre
Unió i intersecció d'esdeveniments
La unió de dos esdeveniments és el conjunt format per tots els elements dels dos conjunts.
La intersecció és el conjunt format per els elements comuns als dos conjunts.

Compatibilitat d'esdeveniments
Successos compatibles (poden passar a la vegada, la intersecció no és buida) i incompatibles (no poden passar a la vegada, la intersecció és buida).
Per exemple si treim una carta a l'atzar d'una baralla i consideram els esdeveniments A="treure figura", B="treure As", C="treure espasa", llavors A i B són incompatibles (no pot sortir una carta que a la vegada sigui figura i as) mentre que A i C són compatibles (figura d'espasa).

Classe 8-5-2009

Introducció a la probabilitat

La probabilitat és una manera de mesura l'incert.
Vam veure els conceptes bàsiques de probabilitat de forma essencialment pràctica:

Experiment determinista vs aleatori
Un experiment és aleatori quan en les mateixes circumstàncies no sempre s'obté el mateix resultat.

Espai mostral
És el conjunt format per tots els resultats possibles. Es denota per U o per E o per omega majúscula.

Esdeveniment simple i esdeveniment compost
Un esdeveniment és simple o elemental quan està format només per un únic resultat possible. Altrament es diu compost.

La llei dels grans nombres
Aquesta llei, experimental, el que diu és que així com anam augmentant el nombre de proves, la freqüència relativa tendeix a estabilitzar-se al voltant d'un nombre. Aquest nombre és la probabilitat de l'esdeveniment. Aquesta probabilitat la podem pensar així com la freqüència relativa si féssim infinits experiments

Regla de Laplace
És una manera molt important de calcular la probabilitat. Només es pot aplicar quan tots els resultats són igualment probables. Aleshores la probabilitat d'un succés és el nombre de casos favorables dividit pel nombre de casos possibles